Геометрия

Материал из Infernal Math

Книги

Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.

Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского.

Прасолов В. В., Тихомиров В. М. Геометрия.

Статьи

Ссылки

Задачи

НМУ, 2016 г.
Листок 1

Г1Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \diamond} 10Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle ^\ast} Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 3 равные части и соответственные точки деления на противоположных сторонах соединены так, что четырёхугольник разбивается на 9 меньших четырёхугольников. Найдите отношение площади среднего из них к площади исходного четырёхугольника.

Решение.

Geometry-1-10.png

а) Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_1 P_6} = \vec{P_1 A} + \vec{A D} + \vec{D P_6} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{D C} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{D C} + \frac{2}{3} \vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{A D}}

Аналогично:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_2 P_5} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B C}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_3 P_8} = \frac{1}{3} \vec{C D} + \frac{2}{3} \vec{B A}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_4 P_7} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{C D}}

б) Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_8 A_1} = \lambda \vec{P_8 P_3}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_1 A_1} = \mu \vec{P_1 P_6}} .

Тогда учитывая, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_1 P_8} = \frac{1}{3} \vec{B D}} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_1 P_8} = \vec{P_1 A_1} + \vec{A_1 P_8} = \mu \vec{P_1 P_6} + \lambda \vec{P_3 P_8} = \mu \left( \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{A D} \right) + \lambda \left( \frac{1}{3} \vec{C D} + \frac{2}{3} \vec{B A} \right) = }

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{2 \lambda}{3} \vec{B A} + \frac{\mu}{3} \vec{B C} + \frac{\lambda}{3} \vec{C D} + \frac{2 \mu}{3} \vec{A D} = - \frac{2 \lambda}{3} \vec{A B} + \frac{\mu}{3} \vec{B C} + \frac{\lambda}{3} \vec{C D} - \frac{2 \mu}{3} \vec{D A}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_1 P_8} = \frac{1}{3} \vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{A D}}

Вычтем из первого равенства второе и умножим на 3:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \left( 1 - 2 \lambda \right) \vec{A B} + \mu \vec{B C} + \lambda \vec{C D} + \left( 2 \mu - 1 \right) \vec{A D} = 0}

При этом Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{A D} = 0} , значит (с точность до пропорциональности)

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle 1 - 2 \lambda = \mu = \lambda = 2 \mu - 1 \implies \lambda = \frac{1}{3}, \mu = \frac{1}{3}}

Итак

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_8 A_1} = \frac{1}{3} \vec{P_8 P_3}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_1 A_1} = \frac{1}{3} \vec{P_1 P_6}}

Аналогично:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_2 B_1} = \frac{1}{3} \vec{P_2 P_5}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_3 B_1} = \frac{1}{3} \vec{P_3 P_8}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_4 C_1} = \frac{1}{3} \vec{P_4 P_7}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_5 C_1} = \frac{1}{3} \vec{P_5 P_2}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_6 D_1} = \frac{1}{3} \vec{P_6 P_1}} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{P_7 D_1} = \frac{1}{3} \vec{P_7 P_4}}

И отсюда сразу получаем, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{A_1 B_1} = \frac{1}{3} \vec{P_8 P_3}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{B_1 C_1} = \frac{1}{3} \vec{P_2 P_5}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{C_1 D_1} = \frac{1}{3} \vec{P_4 P_7}}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \vec{D_1 A_1} = \frac{1}{3} \vec{P_6 P_1}}

в) Теперь выразим ориентированную площадь внутреннего четырёхугольника:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle s \left( A_1 B_1 C_1 D_1 \right) = s \left( A_1 B_1 C_1 \right) + s \left( A_1 C_1 D_1 \right) = \frac{1}{2} s \left( \vec{A_1 B_1}, \vec{A_1 C_1} \right) + \frac{1}{2} s \left( \vec{A_1 C_1}, \vec{A_1 D_1} \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{2} s \left( \vec{A_1 B_1}, \vec{A_1 B_1} + \vec{B_1 C_1} \right) + \frac{1}{2} s \left( \vec{A_1 D_1} + \vec{D_1 C_1}, \vec{A_1 D_1} \right) = \frac{1}{2} s \left( \vec{A_1 B_1}, \vec{B_1 C_1} \right) + \frac{1}{2} s \left( \vec{D_1 C_1}, \vec{A_1 D_1} \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{2} s \left(\frac{1}{3} \vec{P_8 P_3}, \frac{1}{3} \vec{P_2 P_5} \right) + \frac{1}{2} s \left( \frac{1}{3} \vec{P_4 P_7}, \frac{1}{3} \vec{P_6 P_1} \right) = \frac{1}{18} s \left( \vec{P_8 P_3}, \vec{P_2 P_5} \right) + \frac{1}{18} s \left( \vec{P_4 P_7}, \vec{P_6 P_1} \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{18} s \left( \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{D C}, \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B C} \right) + \frac{1}{18} s \left( \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{C D}, \frac{1}{3} \vec{C B} + \frac{2}{3} \vec{D A} \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{162} s \left( 2 \vec{A B} + \vec{D C}, \vec{A D} + 2 \vec{B C} \right) + \frac{1}{162} s \left( \vec{B A} + 2 \vec{C D}, \vec{C B} + 2 \vec{D A} \right) = \frac{1}{162} \left( s \left( 2 \vec{A B}, \vec{A D} \right) + s \left( \vec{D C}, \vec{A D} \right) + \right.}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \left. + s \left( 2 \vec{A B}, 2 \vec{B C} \right) + s \left( \vec{D C}, 2 \vec{B C} \right) + s \left( \vec{A B}, \vec{B C} \right) + s \left( 2 \vec{D C}, \vec{B C} \right) + s \left( \vec{A B}, 2 \vec{A D} \right) + s \left( 2 \vec{D C}, 2 \vec{A D} \right) \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{162} \left( 4 s \left( \vec{A B}, \vec{A D} \right) + 4 s \left( \vec{D C}, \vec{B C} \right) + 5 s \left( \vec{D C}, \vec{A D} \right) + 5 s \left( \vec{A B}, \vec{B C} \right) \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{162} \left( 8 s \left( A B D \right) + 8 s \left( C D B \right) - 10 s \left( D C A \right) - 10 s \left( B A C \right) \right) = \frac{1}{162} \left(- 8 s \left( B A D \right) - 8 s \left( B D C \right) - 10 s \left( A D C \right) - 10 s \left( A C B \right) \right) =}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle = \frac{1}{162} \left(- 8 s \left( B A D C \right) - 10 s \left( A D C B \right) \right) = \frac{1}{162} \left(- 8 s \left( A B C D \right) - 10 s \left( A B C D \right) \right) = - \frac{1}{9} s \left( A B C D \right)}

Значит по абсолютной величине площадь четырёхугольника Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle A_1 B_1 C_1 D_1} в девять раз меньше площади четырёхугольника Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle A B C D} .

Ответ: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{9}} .

Г1Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle \diamond} 11Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle ^\ast} Векторы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle v_1, v_2, \dots, v_n \in \mathbb{A}_2 \left( \mathbb{R} \right)} идут из начала координат Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle O} в вершины правильного Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle n} -угольника с центром в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle O} , но занумерованы случайно. Может ли удвоенная площадь этого многоугольника оказаться меньше суммы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://api.formulasearchengine.com/v1/»:): {\displaystyle det \left( v_1, v_2 \right) + det \left( v_2, v_3 \right) + \dots + det \left( v_{n - 1}, v_n \right) + det \left( v_n, v_1 \right)} ?

Решение.

Пример такой перенумеровки:

Geometry-1-11.png

Ответ: Может.